非可換多項式環のグレブナ基底に関する研究

志望専攻:情報メディア科学

志望講座:計算システム志望教育研究分野:離散解析

氏名:森島聖

I, J を, 多項式環 k [x_{1}, ⋯, x_{n}] のイデアルとする. このとき,

1. elimination ideal (⟺ {x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{s}}} ⊂ {x_{1}, ⋯, x_{n}}) に対し, I ⋂ k [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{s}}]) ( 変数を消去するもの)

2. I ⋂ J の生成元

3. イデアルの根基

4. 準素分解

等が計算できる.

グレブナ基底の応用

f, g ∈ k [x, y, z] = R f = x^{2}y + x^{2}z + xy + xz g = y^{3} + y^{2}z − y − z

その最大公約多項式は？グレブナ基底を使うと,

Rf ⋂ Rg = Rh h = x^{2}y^{2}z+xy^{2}z−x^{2}z−xz+x^{3}y^{3} +xy^{3} − x^{2}y − xy この h が最小公倍多項式！

GCD (f, g) = \frac{fg}{h} = y + z

yx = αxy となるような非可換多項式環

R = k ⟨x, y⟩ /Id(yx − αxy)

(α ∈ k α ≠ 0, 1)

f = x + 1, g = y + 1

最大公約多項式を同じアルゴリズムで求めようとする.

Rf ⋂ Rg =??

R · (x + 1) ⋂ R · (y + 1)

= R · (x^{2}y + x^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{(α + 1)}{α}x + \frac{y}{α} + \frac{1}{α})

+R · (xy^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{y^{2}}{α^{2}} + \frac{x}{α} + \frac{(α + 1)}{α^{2}}y + \frac{1}{α})

= \frac{1}{α} (xy + αx + y + 1) (x + 1)

= \frac{1}{α} (αx + 1) (x + 1) (y + 1)

= \frac{1}{α^{2}} (y + α) (y + 1) (x + 1)

= \frac{1}{α^{2}} (α^{2}xy + αx + y + α) (y + 1)

f  g  生成元の数生成元の数
(grevlex order) (lex order)
x + 1  y + 1  2  2
x + y  y + 1  2  2
x^{2} + y  y^{2} + x  3  2
x^{2} + 1  y^{2} + 1  2  2
x^{3} + y  y^{3} + 1  2  2
x^{3} + 1  y^{3} + 1  2  2
x^{3} + y  y^{3} + x  3  2
x^{3} + y^{2}  y^{3} + x^{2}  3  2
x^{3}y + y^{2}  xy^{3} + x^{2}  3  2
x^{3}y + xy^{2}  xy^{3} + x^{2}  3  2
x^{5}y + x^{3}y^{2}  xy^{3} + x^{2}y  3  2
x^{5}y^{10} + x^{3}y^{7} x^{10}y^{3} + x^{2}y^{8}  3  2
x^{165}y^{30} − xy x^{15}y^{46} − x^{21}y^{6}  3  ?
x^{10}y^{8} − x^{5}y^{6} x^{7}y^{3} − x^{2}y^{2}  2  2
xy + x + 1  x + y  2  2
xy + x + 1  x + y + 1  2  2
x + y + 1  xy + 1  2  2
x^{2} + x + y + 1  y + 1  2  2
x^{3}y^{2} + x^{2}y + 1  xy^{2} + y  1  1

Conjecture: R = k ⟨x, y⟩ (yx = αxy) f, g ∈ R とする. このとき, Rf ⋂ Rg は左イデアルとして, 高々2元で生成される.

今後の研究計画:

1. Conjecture の検証

2. solvable polynomial ringの研究

3. (左)イデアルの準素分解と, (左)イデアルの分類

4. 様々なアルゴリズムのコンピュータ上での実現と効率面についての研究