研究経過報告書

志望専攻:情報メディア科学

志望講座:計算システム志望教育研究分野:離散解析

氏名:森島聖

私は現在まで,

[1 ] D.Cox,J.Little,D.O’Shea:Ideals,Varieties,and Algorithm,Springer, 1996 [2 ] T.Becker,V.Weispfenning:Gröbner Basis,Springer, 1993

をセミナーのテキストとして読み進め,Gröbner 基底の代数幾何学への応用とそのアルゴリズムについて研究をしてきました. [1] に関しては,1 章から 4 章までを読み, このテキストでイデアルの準素分解アルゴリズムに興味を持ち, 続けて [2] の主に 8 章を中心に読み進めました. そして, 多項式環のイデアルの Gröbner 基底の計算アルゴリズムを, 数式処理ソフト Mathematica でリスト処理計算を用いて実現しました. まず計算スピードに興味を持ち,2 種類のリスト表記方法やアルゴリズムの改良を行って計算スピードに関していろいろと実験しました. そして, この Gröbner 基底アルゴリズムを用いて,

イデアル I, J, I_{i} ⊂ k [x_{1}, ⋯, x_{n}] , 多項式 f ∈ k [x_{1}, ⋯, x_{n}] に対し,

1. elimination ideal (⟺ {x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}} ⊂ {x_{1}, ⋯, x_{n}}) に対し, I ⋂ k [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}])

2. ideal quotient (⟺ I : J)

3. saturation (⟺ I : f^{∞} = ⋃_{i=1}^{∞}(I : f^{i}))

4. ideal intersection(⟺ ⋂_{i=1}^{s} I_{i})

5. radical (⟺ \sqrt{I} = \{f ∈ k [x_{1}, ⋯, x_{n}] | ∃m s.t. f^{m} ∈ I\})

6. primary decomposition

(⟺ \{I = ⋂_{i=1}^{r} Q_{i} Q_{i} : 準素イデアル\sqrt{Q_{i}} ≠ \sqrt{Q_{j}} (i ≠ j) Q_{i} ⊅ ⋂_{j≠i} Q_{j}\})

等を計算するアルゴリズムを実現しました. また,ideal membership problem(多項式がイデアルに所属しているかどうかの判定法) のアルゴリズムに関しては, 所属している場合の具体的な表現を計算するアルゴリズムを自ら考案し実現しました. また,syzygy や resultant やパラメータ表示から陰表示を求めるアルゴリズムについて研究しました. その後, 非可換多項式環への Gröbner 基底の応用を研究対象としました. まず,

R = k ⟨x, y⟩ /(yx − αxy) (α ≠ 0, 1 α ∈ k)

なる非可換多項式環の非可換 Gröbner 基底の計算アルゴリズムを自ら考案し実現して, どのような現象が起きるかいろいろと実験しました. そこで,

(*) R · (x + 1) ⋂ R · (y + 1) = R · (x^{2}y + x^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{(α + 1)}{α}x + \frac{y}{α} + \frac{1}{α})

+R · (xy^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{y^{2}}{α^{2}} + \frac{x}{α} + \frac{(α + 1)}{α^{2}}y + \frac{1}{α})

を導きました. 非可換多項式環では (左) 単項生成イデアル同士の intersection は必ずしも単項生成にならないことや,R · (x + 1) + R · (y + 1) = R など驚くべき事実がいっぱいでした. なお,(*) については,Mathematica のリスト処理関係の関数のバグの可能性を回避するために, 実際に表現を計算するアルゴリズムを自ら考案して実現し, それを用いてコンピュータと手との両方の計算アプローチから, 証明付きで結論づけました. その後, この非可換多項式環の一般の場合について考察し, その非可換 Gröbner 基底アルゴリズムを自ら考案し実現しました.