Gröbner 基底の非可換多項式環への応用について研究しようと考えています. まず最初に,Buchberger のアルゴリズムが応用できる

x_{i}x_{j} = c_{ij}x_{i}x_{j} + p_{ij}
(0 ≠ c_{ij} ∈ k  p_{ij} ∈ k [x_{1}, ⋯, x_{n}]  p_{ij} = 0 または LM(p_{ij}) < x_{i}x_{j})

の関係を満たすような具体的な非可換多項式環 k ⟨x_{1}, ⋯, x_{n}⟩ で, どの程度可換の場合のアルゴリズムの応用が出来るのか. また, どのような場合に応用ができないのか. そして, そのような場合新たなアルゴリズムがつくれないかどうかについて考えたいと思っています. 欲を言えば, 可換の場合の概念を応用し, 非可換多項式環の (左) 素イデアル,(左) 準素イデアル,(左) イデアルの準素分解の意味を定義し, アルゴリズムについて考え,(左) イデアルの分類が出来ればと思っています. また, より一般的な非可換多項式環や Gröbner 基底が応用できる他の非可換環についても研究できればと思っています。そして, これらのアルゴリズムのコンピュータ上での実現についても研究していきたいと考えています. 現段階では, 次に読む非可換多項式環の Gröbner 基底に関する文献で,

[1 ] Kandri-Roby,A.,Weispfenning,V. :Non-commutative Gröbner bases in algebras of solvable type., J.Symbolic Comput.9,no.1,1-26, 1990

や, その他の非可換多項式環の Gröbner 基底に関する文献を, 広島大学在籍中に読み進める予定です. またこの後に,

[2 ] Mutsumi Saito,Bernd Sturmfels,Nobuki Takayama :Gröbner deformations of hypergeometric differential equations, Springer, 2000

を読み進めることを予定しています.