非可換多項式環 k (α) ⟨x, y⟩ / (yx − αxy) の

左単項生成イデアルの共通部分の生成元について

M1171023 森島聖

I, J を, 多項式環 k [x_{1}, ⋯, x_{n}] のイデアルとする. このとき Gröbner 基底を用いることにより,

1. elimination ideal (⟺ {x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{s}}} ⊂ {x_{1}, ⋯, x_{n}}) に対し, I ∩ k [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{s}}]) ( 変数を消去するもの)

2. I ∩ J の生成元

3. イデアルの根基

4. 準素分解

等が計算できる.

\underline{Gröbner基底の応用}

f, g ∈ k [x, y, z] = R f = x^{2}y + x^{2}z + xy + xz g = y^{3} + y^{2}z − y − z

最小公倍多項式が存在する.

lcm(f, g) = h とすると, Rf ∩ Rg = Rh (\underline{単項生成！} )

Gröbner基底を使うと,

Rf ∩ Rg = Rh h = x^{2}y^{2}z+xy^{2}z−x^{2}z−xz+x^{3}y^{3} +xy^{3} − x^{2}y − xy この h が最小公倍多項式！ yx = αxy となるような非可換多項式環

R = k (α) ⟨x, y⟩ / (yx − αxy)

f = x + 1, g = y + 1

最小公倍多項式を同じアルゴリズムで求めようとする.

Rf ∩ Rg =??

R · (x + 1) ⋂ R · (y + 1)

= R · (x^{2}y + x^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{(α + 1)}{α}x + \frac{y}{α} + \frac{1}{α})

+R · (xy^{2} + \frac{(α + 1)}{α}xy + \frac{y^{2}}{α^{2}} + \frac{x}{α} + \frac{(α + 1)}{α^{2}}y + \frac{1}{α})

= \frac{1}{α} (xy + αx + y + 1) (x + 1)

= \frac{1}{α} (αx + 1) (x + 1) (y + 1)

= \frac{1}{α^{2}} (y + α) (y + 1) (x + 1)

= \frac{1}{α^{2}} (α^{2}xy + αx + y + α) (y + 1)

R = k (α) ⟨x, y⟩ / (yx − αxy) (yx = αxy)

\underline{問題} 1. 単項生成になる条件は？ 2. 生成元の個数はどうなるか？ \underline{ある条件下における単項生成元} \underline{の構成法}

Proposition: Rf ∩ Rg が単項生成とする.

このとき,

a ∈ R
m は単項式

に対し,

Rf ∩ R · (af + mg) は\underline{単項生成}. (具体的に書ける！ )

f  g  生成元の数生成元の数
(grevlex order) (lex order)
x + 1  y + 1  2  2
x + y  y + 1  2  2
x^{2} + 1  y^{2} + 1  2  2
x^{3} + y  y^{3} + 1  2  2
x^{3} + 1  y^{3} + 1  2  2
x^{10}y^{8} − x^{5}y^{6} x^{7}y^{3} − x^{2}y^{2}  2  2
xy + x + 1  x + y  2  2
xy + x + 1  x + y + 1  2  2
x + y + 1  xy + 1  2  2
x^{2} + x + y + 1  y + 1  2  2
x + y^{2} + 1  x^{2} + 1  2  2
x^{2} + y^{2}  x + 1  2  2
x^{2} − y^{2} − 1  x − y  2  2
x^{2} − y^{2} − 1  x − y + 1  2  2
x^{4} − xy  y − 1  2  2
x^{2}y − xy  xy^{2} − xy  2  2
x^{2}y − xy − x xy^{2} − xy + y  2  2
x^{4} − xy  x + y^{3}  3  2
x^{2} + y  y^{2} + x  3  2
x^{3} + y  y^{3} + x  3  2
x^{3} + y^{2}  y^{3} + x^{2}  3  2
x^{3}y + y^{2}  xy^{3} + x^{2}  3  2
x^{3}y + xy^{2}  xy^{3} + x^{2}  3  2
x^{5}y + x^{3}y^{2}  xy^{3} + x^{2}y  3  2
x^{5}y^{10} + x^{3}y^{7} x^{10}y^{3} + x^{2}y^{8}  3  2
x^{165}y^{30} − xy x^{15}y^{46} − x^{21}y^{6}  3  ?
x^{3}y^{2} + xy^{5}  x^{2}y + x^{6}y^{2}  3  2
x^{3}y^{6} + xy^{10}  x^{2}y + x^{10}y^{2}  3  2
x^{4} − y  x + y^{3}  3  2

Question: Rf ∩Rg が単項生成になるための必要十分条件は何か?

Conjecture(Takahashi): f, g ∈ k [x, y] を R の元とみる.

可換の意味で gcd(f, g) = 1

Rf ∩ Rg = Rh

lim_{α→1} h = f ∗ g ( 『∗』は可換の積)

このとき, f = g = 0 は可換の意味で xy = 0 となるような解のみを持つ.

Conjecture: Rf ∩ Rg は高々2元で生成される. (実際, lex order に関する Gröbner 基底が高々 2元になると予想される)

lex order に関する Gröbner基底が {h_{1}, h_{2}} のとき,

Rf ∩ Rg = Rh_{1} + Rh_{2}

Conjecture: Rh_{1} ∩ Rh_{2} は単項生成である.