セミナー配布資料 2001,4,27 森島聖

f, g ∈ k (q) ⟨x, y⟩ = R (yx = qxy) に対し, Rf ∩ Rg は, 辞書式順序に関して高々 2 元で生成されると予想される. 2 元で生成されたときの左イデアルを,

(R ⊂) R′ = k (q) (x) [y] (yx = qxy)

の左イデアル ( extension ideal ) とみなして生成元を計算したい. 実際, R′ は y に関する一変数多項式環より, 互除法により生成元が計算できて, 特に単項生成になる. 以下にその単項生成元を列挙する.

1. f = x + 1, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{ x2y + x2 + \frac{(q + 1)}{q} xy + \frac{(q + 1)}{q} x + \frac{y}{q} + \frac{1}{q} , xy2 + \frac{(q + 1)}{q} xy + \frac{y2}{q2} + \frac{x}{q} + \frac{(q + 1)}{q2} y + \frac{1}{q}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y となる.(1 回の除法で計算可能)

2. f = x + y, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x2y − \frac{y3}{q3} + x2 − \frac{(q + 1)}{q2} xy − \frac{(q2 + q + 1)}{q3} y2 − \frac{(q + 1)}{q2} x − \frac{(q + 1)}{q2} y, xy2 + \frac{y3}{q2} + \frac{(q + 1)}{q} xy + \frac{(q + 1)}{q2} y2 + \frac{x}{q} + \frac{y}{q} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると

1 + y となる.(1 回の除法で計算可能)

3. f = x^{2} + 1, g = y^{2} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4y2 + x4 + \frac{(q4 + 1)}{q4} x2y2 + \frac{(q4 + 1)}{q4} x2 + \frac{y2}{q4} + \frac{1}{q4} , x2y4 + \frac{y4}{q8} + \frac{(q4 + 1)}{q4} x2y2 + \frac{x2}{q4} + \frac{(q4 + 1)}{q8} y2 + \frac{1}{q4} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

4. f = x^{3} + y, g = y^{3} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x6y3 + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3y4 + x6 + \frac{y5}{q12} + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3y + \frac{y2}{q12} , x3y6 + \frac{y7}{q18} + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3y3 + \frac{(q9 + 1)}{q18} y4 + \frac{x3}{q9} + \frac{y}{q9} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

x^{3} − q^{18} x^{12} + (1 − q^{9} x^{9}) y + (x^{3} − q^{18} x^{12}) y^{3} + (1 − q^{9} x^{9}) y^{4} となる.(2 回の除法で計算可能)

5. f = x^{3} + 1, g = y^{3} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x6y3 + x6 + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3y3 + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3 + \frac{y3}{q9} + \frac{1}{q9} , x3y6 + \frac{(q9 + 1)}{q9} x3y3 + \frac{y6}{q18} + \frac{x3}{q9} + \frac{(q9 + 1)}{q18} y3 + \frac{1}{q9} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y^{3} となる.(1 回の除法で計算可能)

6. f = x^{10}y^{8} − x^{5}y^{6}, g = x^{7}y^{3} − x^{2}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は

\{x15y10 − q15x15y9 − \frac{x10y9}{q35} + q10x10y7 + \frac{x5y7}{q40} − \frac{x5y6}{q10} , x20y6 − \frac{x15y9}{q45} − \frac{x15y8}{q25} − \frac{x15y7}{q5} + \frac{x10y8}{q75} + \frac{x10y7}{q50} + \frac{x10y6}{q25} − \frac{x5y6}{q75} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + q^{50} x^{5}) y^{6} + (x^{5} − q^{45} x^{10}) p y^{7} + (x^{5} − q^{50} x^{10}) y^{8} + (−x^{10} + q^{45} x^{15}) y^{9} となる.(1 回の除法で計算可能)

7. f = xy + x + 1, g = x + y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は

\{x3y + \frac{(q4 + 3q3 + 3q2 + 2q + 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} x2y2 + \frac{(q2 + 3q + 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} xy3 + x3 + \frac{(q3 + 3q2 + 4q + 2)}{2q2 + 2q + 1} x2y + \frac{(q3 + q2 + 2q + 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} xy2

+ \frac{(2q3 + 3q2 + q − 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} x2 + \frac{(2q4 + 3q3 + 2q2 + 2q + 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} xy + \frac{(q2 + 3q + 1)}{q3 (2q2 + 2q + 1)} y2 + \frac{(q2 − 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} x + \frac{(q2 − 1)}{q (2q2 + 2q + 1)} y,

x2y3 + \frac{xy4}{q3} + \frac{(q + 1)}{q} x2y2 + \frac{(q + 1)}{q3} xy3 + \frac{(q2 − 1)}{q3} x2y + \frac{xy2}{q2} + \frac{y3}{q6} − \frac{x2}{q3} + \frac{y2}{q4} − \frac{x}{q3} − \frac{y}{q3} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−x − x^{2} − q x^{2} − q x^{3} + q^{2} x^{3} + q^{2} x^{4} + (−1 − x − q x − q x^{2} + q^{2} x^{4}) y + (−x − x^{2} + x^{3}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

8. f = xy + x + 1, g = x + y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y − \frac{xy3}{q3} + x3 − \frac{(q + 1)}{q3} x2y − \frac{(q3 + q2 + 2q + 1)}{q4} xy2 + \frac{(q3 − q − 1)}{q3} x2 − \frac{(q3 + 2q2 + 2q + 2)}{q4} xy − \frac{y2}{q5} − \frac{(2q2 + 2q + 1)}{q4} x

− \frac{(q3 + q2 + q + 1)}{q5} y − \frac{(q2 + q + 1)}{q4} ,

x2y2 + \frac{xy3}{q2} + \frac{(q2 + q + 1)}{q2} x2y + \frac{(q + 1)2}{q3} xy2 + \frac{(q + 1)}{q2} x2 + \frac{2(q2 + q + 1)}{q3} xy + \frac{y2}{q4} + \frac{(q + 1)2}{q3} x + \frac{(q2 + q + 1)}{q4} y + \frac{(q + 1)}{q3}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−1 − x + q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3} + (−1 − q x + q x^{2} + q^{2} x^{3}) y + (−x + x^{2}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

9. f = x + y + 1, g = xy + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y + \frac{(q4 + 3q3 + 2q2 + 2q + 1)}{q (q2 + 2q + 2)} x2y2 + \frac{(q2 + 3q + 1)}{q (q2 + 2q + 2)} xy3 + \frac{(q3 + 2q2 + 4q + 3)}{q (q2 + 2q + 2)} x2y + \frac{(2q3 + 4q2 + 3q + 1)}{q2 (q2 + 2q + 2)} xy2 + x2

+ \frac{(q4 + 3q3 + 4q2 + 5q + 2)}{q2 (q2 + 2q + 2)} xy + \frac{(q2 + 3q + 1)}{q3 (q2 + 2q + 2)} y2 + \frac{(2q3 + 4q2 + 3q + 1)}{q3 (q2 + 2q + 2)} y + \frac{(2q + 3)}{q (q2 + 2q + 2)} ,

x2y3 + \frac{xy4}{q3} + \frac{x2y2}{q2} + \frac{(q + 1)}{q4} xy3 − \frac{x2y}{q3} + \frac{xy2}{q4} + \frac{y3}{q6} + \frac{(q + 1)}{q6} y2 − \frac{x}{q3} − \frac{(q2 − 1)}{q5} y − \frac{1}{q3} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−1 − x + q x + q x^{2} + q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3} + (−1 + q x^{2} + q x^{3} + q^{2} x^{3} + q^{2} x^{4}) y + (−x + x^{2} + x^{3}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

10. f = x^{2} + x + y + 1, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y + x3 + \frac{(q + 1)}{q} x2y + \frac{xy2}{q2} + \frac{(q + 1)}{q} x2 + \frac{(q2 + q + 1)}{q2} xy + \frac{y2}{q2} + \frac{(q + 1)}{q2} x + \frac{(q + 1)}{q2} y + \frac{1}{q} ,

x2y2 + \frac{(q + 1)}{q} x2y + \frac{xy2}{q2} + \frac{y3}{q4} + \frac{x2}{q} + \frac{(q + 1)}{q2} xy + \frac{(q2 + q + 1)}{q4} y2 + \frac{x}{q} + \frac{(q2 + q + 1)}{q3} y + \frac{1}{q}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + x + q x + x^{2} + q x^{2} + q x^{3} + (1 + q + x + q x + q^{2} x + q x^{2} + q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3}) y + (1 + x) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

11. f = x + y^{2} + 1, g = x^{2} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{q2x2y4 + (q4 + 1) x3y2 + x4 + \frac{(q4 + 1)}{q2} x2y2 + \frac{y4}{q6} + \frac{(q2 + 1)}{q2} x3 + \frac{(q4 + 1)}{q4} xy2 + \frac{(q2 + 1)}{q2} x2 + \frac{(q4 + 1)}{q6} y2 + \frac{(q2 + 1)}{q2} x + \frac{1}{q2} ,

\frac{x2y6}{q4} + x3y4 + \frac{(q4 + q2 + 1)}{q8} x2y4 + \frac{y6}{q16} + \frac{(q2 + 1)}{q6} x3y2 + \frac{xy4}{q8} + \frac{(2q4 + q2 + 1)}{q10} x2y2 + \frac{(q4 + q2 + 1)}{q16} y4 + \frac{2x3}{q10} + \frac{(q2 + 1)}{q10} xy2

+ \frac{2x2}{q10} + \frac{(2q4 + q2 + 1)}{q14} y2 + \frac{2x}{q10} + \frac{2}{q10} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + x + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

12. f = x^{2} + y^{2}, g = x + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 + x2y2 + \frac{(q2 + 1)}{q2} x3 + \frac{(q2 + 1)}{q2} xy2 + \frac{x2}{q2} + \frac{y2}{q2} , x3y2 + \frac{xy4}{q4} + \frac{x2y2}{q4} + \frac{y4}{q8} + \frac{x3}{q6} + \frac{xy2}{q6} + \frac{x2}{q6} + \frac{y2}{q6} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

x^{2} + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

13. f = x^{2} − y^{2} − 1, g = x − y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 − (q2 + 1) x3y + (q − 1) x2y2 + \frac{(q2 + 1)}{q2} xy3 − \frac{y4}{q3} − x2 + \frac{(q2 + 1)}{q2} xy − \frac{y2}{q3} ,

x3y2 − \frac{x2y3}{q2} − \frac{xy4}{q4} + \frac{y5}{q8} + \frac{x3}{q5 (q − 1)} − \frac{x2y}{q3 (q − 1)} − \frac{(q2 − q + 1)}{q5 (q − 1)} xy2 + \frac{(q3 + q − 1)}{q8 (q − 1)} y3 + \frac{x}{q5 (q − 1)} + \frac{y}{q5 (q − 1)}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−x + x^{3} + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3} − q^{2} x^{5} + q^{3} x^{5} + (1 − x^{2} + q x^{2} − q^{2} x^{2} + q^{2} x^{4} − q^{3} x^{4}) y +

(−x + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3}) y^{2} + (1 − x^{2} + q x^{2}) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

14. f = x^{2} − y^{2} − 1, g = x − y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 − \frac{(q + 1)}{q} x2y2 + \frac{y4}{q5} + \frac{(q3 + q2 + q + 1)}{q3 (q − 1)} x3 − \frac{(2q3 + q2 + 1)}{q3 (q − 1)} x2y − \frac{(q3 + q2 + q + 1)}{q3 (q − 1)} xy2 + \frac{(2q3 + q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y3

− \frac{(q5 − q4 − 2q2 − q − 1)}{q4 (q − 1)} x2 − \frac{(2q3 + q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y2 − \frac{(q3 + q2 + q + 1)}{q3 (q − 1)} x + \frac{(2q3 + q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y − \frac{(2q2 + q + 1)}{q4 (q − 1)} ,

x3y − \frac{x2y2}{q} + \frac{y4}{q5} − \frac{xy3}{q2} + \frac{(q + 1)}{q3 (q − 1)} x3 − \frac{(q2 + 1)}{q3 (q − 1)} x2y − \frac{(q + 1)}{q3 (q − 1)} xy2 + \frac{(q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y3 + \frac{(q + 1)}{q4 (q − 1)} x2 − \frac{xy}{q2}

− \frac{(q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y2 − \frac{(q + 1)}{q3 (q − 1)} x + \frac{(q2 + 1)}{q5 (q − 1)} y − \frac{(q + 1)}{q4 (q − 1)}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−2 − q x − q^{2} x + 2 x^{2} + q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2} + q x^{3} + q^{2} x^{3} − q^{2} x^{4} + q^{3} x^{4} +

(2 − x + q x − 2 q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3}) y +
(−2 − q x − q^{2} x + q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2}) y^{2} + (2 − x + q x) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

15. f = x^{4} − xy, g = y − 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x7y − x7 − \frac{(q3 + 1)}{q6} x4y + \frac{(q3 + 1)}{q6} x4 − \frac{xy3}{q9} + \frac{(q6 + q3 + 1)}{q9} xy2 − \frac{(q3 + 1)}{q6} xy, x4y2 − \frac{(q3 + 1)}{q3} x4y + \frac{x4}{q3} − \frac{xy3}{q6} + \frac{(q3 + 1)}{q6} xy2 − \frac{xy}{q3} \}

x^{3} + (−1 − x^{3} − q^{3} x^{3}) y + (1 + q^{3} + q^{6} x^{3}) y^{2} − y^{3}

となる.(2 回の除法で計算可能)

16. f = x^{2}y − xy, g = xy^{2} − xy Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y2 − x3y − \frac{(q + 1)}{q} x2y2 + \frac{(q + 1)}{q} x2y + \frac{xy2}{q} − \frac{xy}{q} , x2y3 − \frac{(q + 1)}{q} x2y2 − \frac{xy3}{q2} + \frac{x2y}{q} + \frac{(q + 1)}{q2} xy2 − \frac{xy}{q} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−y + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

17. f = x^{2}y − xy − x, g = xy^{2} − xy + y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4y3 − \frac{q (2q + 3)}{q2 + 2q + 2} x3y4 − x4y2 + \frac{(q4 − 4q2 − 5q − 2)}{q2 (q2 + 2q + 2)} x3y3 + \frac{(2q + 3)}{q2 (q2 + 2q + 2)} x2y4 + \frac{(q4 + 3q3 + 4q2 + 5q + 2)}{q2 (q2 + 2q + 2)} x3y2

− \frac{(q3 − 3q − 3)}{q3 (q2 + 2q + 2)} x2y3 + \frac{x3y}{q} − \frac{(q4 + 4q3 + 8q2 + 6q + 1)}{q3 (q2 + 2q + 2)} x2y2 + \frac{(2q + 3)}{q4 (q2 + 2q + 2)} xy3 − \frac{(q4 + 2q3 + 3q2 + 5q + 4)}{q3 (q2 + 2q + 2)} x2y

+ \frac{(q3 + 5q2 + 6q + 3)}{q4 (q2 + 2q + 2)} xy2 + \frac{(q2 + 5q + 4)}{q3 (q2 + 2q + 2)} xy,

x3y5 − \frac{(q2 − 1)}{q2} x3y4 − \frac{x2y5}{q4} − \frac{(q + 1)}{q3} x3y3 + \frac{(q2 − 1)}{q5} x2y4 + \frac{x3y2}{q3} + \frac{(q + 2)}{q4} x2y3 − \frac{xy4}{q7} − \frac{(q2 − 1)}{q5} x2y2 − \frac{(q + 1)}{q7} xy3 − \frac{x2y}{q4}

+ \frac{(q2 − 1)}{q6} xy2 + \frac{xy}{q4} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + x + 2 q x + q^{2} x − 2 q x^{2} − q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2} + q^{3} x^{3}) y +

(−1 + x + 2 q x + q^{2} x − q x^{2} − 2 q^{2} x^{2} − 2 q^{3} x^{2} + q^{2} x^{3} + 2 q^{3} x^{3} + q^{4} x^{3} − q^{4} x^{4}) y^{2} +
(−x + 2 x^{2} + q x^{2} + q^{2} x^{2} − q x^{3} − 2 q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3} + q^{3} x^{4}) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

18. f = x^{4} − xy, g = x + y^{3} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q5x4y6 + (q8 + 1) x5y3 − \frac{xy7}{q13} + x6 − \frac{(q8 + 1)}{q9} x2y4 − x3y, \frac{x4y11}{q8} + x5y8 − \frac{xy12}{q41} − \frac{x2y9}{q24} + \frac{x4y3}{q15} + \frac{x5}{q23} − \frac{xy4}{q24} − \frac{x2y}{q23} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q x^{4} + q^{18} x^{12} + (− (q x) − q^{10} x^{9}) y + (q x^{3} + q^{18} x^{11}) y^{3} + (−1 − q^{9} x^{8}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

19. f = x^{2} + y, g = y^{2} + x Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{qx2y4 + (q + 1) x3y2 + \frac{y5}{q7} + x4 + \frac{(q3 + 1)}{q4} xy3 + x2y, \frac{x2y5}{q3} + x3y3 + \frac{y6}{q13} + \frac{xy4}{q6} + \frac{x2y2}{q4} + \frac{x3}{q7} + \frac{y3}{q8} + \frac{xy}{q7} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q x + q^{6} x^{4} + (q + q^{3} x^{3}) y + (q + q^{6} x^{3}) y^{2} + (1 + q^{2} x^{3}) y^{3} となる.(3 回の除法で計算可能)

20. f = x^{3} + y, g = y^{3} + x Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q5x3y6 + (q8 + 1) x4y3 + \frac{y7}{q13} + x5 + \frac{(q8 + 1)}{q9} xy4 + x2y, \frac{x3y11}{q8} + x4y8 + \frac{y12}{q41} + \frac{xy9}{q24} − \frac{x3y3}{q15} − \frac{x4}{q23} − \frac{y4}{q24} − \frac{xy}{q23} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

− (q x^{4}) + q^{18} x^{12} + (− (q x) + q^{10} x^{9}) y + (− (q x^{3}) + q^{18} x^{11}) y^{3} + (−1 + q^{9} x^{8}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

21. f = x^{3} + y^{2}, g = y^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q3x3y7 + q11x5y4 + \frac{y9}{q18} + \frac{x2y6}{q} + q5x4y3 + x6 + \frac{xy5}{q4} + x3y2,

\frac{x3y8}{q10} + x5y5 + \frac{y10}{q34} + \frac{x2y7}{q15} + \frac{(q5 − 1)}{q12} x4y4 + \frac{(q5 − 1)}{q24} xy6 + \frac{x3y3}{q13} + \frac{x5}{q18} + \frac{y5}{q22} + \frac{x2y2}{q18} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q^{4} x+q^{16} x^{6}+(q^{7} x^{2} − q^{12} x^{2}) y+(q^{4} + q^{11} x^{5}) y^{2}+(q^{4} + q^{16} x^{5}) y^{3}+(q^{5} − q^{10}) y^{4}+(1 + q^{7} x^{5}) y^{5} となる.(3 回の除法で計算可能)

22. f = x^{3}y + y^{2}, g = xy^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q3x4y7 + \frac{(q8 + 1)}{q} x5y4 + \frac{xy8}{q15} + x6y + \frac{(q8 + 1)}{q10} x2y5 + x3y2, \frac{x4y12}{q9} + x5y9 + \frac{xy13}{q42} + \frac{x2y10}{q24} − \frac{x4y4}{q13} − \frac{x5y}{q20} − \frac{xy5}{q22} − \frac{x2y2}{q20} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(− (q^{2} x^{4}) + q^{18} x^{12}) y + (− (q^{2} x) + q^{10} x^{9}) y^{2} + (− (q x^{3}) + q^{17} x^{11}) y^{4} + (−1 + q^{8} x^{8}) y^{5} となる.(4 回の除法で計算可能)

23. f = x^{3}y + xy^{2}, g = xy^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{x3y7 + \frac{xy8}{q12} + \frac{(q5 + 1)}{q} x4y4 + \frac{(q5 + 1)}{q7} x2y5 + x5y + x3y2, \frac{x3y9}{q6} + \frac{xy10}{q22} + x4y6 + \frac{x2y7}{q10} + \frac{x3y4}{q6} + \frac{xy5}{q12} + \frac{x4y}{q10} + \frac{x2y2}{q10} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(q^{2} x^{3} − q^{12} x^{8}) y + (q^{2} x − q^{7} x^{6}) y^{2} + (q x^{2} − q^{11} x^{7}) y^{4} + (1 − q^{5} x^{5}) y^{5} となる.(4 回の除法で計算可能)

24. f = x^{5}y + x^{3}y^{2}, g = xy^{3} + x^{2}y Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{qx5y5 + (q3 + 1) x6y3 + \frac{x3y6}{q7} + x7y + \frac{(q3 + 1)}{q4} x4y4 + x5y2, \frac{x5y6}{q3} + x6y4 + \frac{x3y7}{q13} + \frac{x4y5}{q6} + \frac{x5y3}{q4} + \frac{x6y}{q7} + \frac{x3y4}{q8} + \frac{x4y2}{q7} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(q x^{3} + q^{6} x^{6}) y + (q x + q^{3} x^{4}) y^{2} + (q x^{2} + q^{6} x^{5}) y^{3} + (1 + q^{2} x^{3}) y^{4} となる.(3 回の除法で計算可能)

25. f = x^{5}y^{10} + x^{3}y^{7}, g = x^{10}y^{3} + x^{2}y^{8} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{−q44x13y24 − \frac{x5y29}{q124} − \frac{x11y21}{q18} − \frac{x3y26}{q162} + x15y10 + \frac{x7y15}{q56} + x13y7 + \frac{x5y12}{q32} ,

x13y27 + \frac{x5y32}{q192} + \frac{x11y24}{q68} + \frac{x3y29}{q236} + \frac{x13y10}{q78} + \frac{x5y15}{q134} + \frac{x11y7}{q78} + \frac{x3y12}{q110} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + q^{174} x^{34}) y^{7} + (q^{34} − q^{68}) y^{8} + (− (q^{92} x^{8}) + q^{126} x^{8}) y^{9} + (−q^{22} + q^{162} x^{34}) y^{10} +

(−1 + q^{174} x^{34}) y^{12} + (1 − q^{34}) y^{13} + (−q^{44} + q^{78}) y^{14} + (−1 + q^{140} x^{34}) y^{15}

となる.(5 回の除法で計算可能)

26. f = x^{3}y^{2} + xy^{5}, g = x^{2}y + x^{6}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q4x6y9 + \frac{(q14 + 1)}{q2} x8y6 + x10y3 + \frac{x2y8}{q24} + \frac{(q14 + 1)}{q18} x4y5 + \frac{x6y2}{q4} , \frac{x6y13}{q16} + x8y10 + \frac{x2y12}{q60} + \frac{x4y9}{q32} + \frac{x6y6}{q24} + \frac{x8y3}{q36} + \frac{x2y5}{q40} + \frac{x4y2}{q40} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + q^{38} x^{14}) y^{2} + (−1 + q^{24} x^{14}) y^{3} + (−1 + q^{38} x^{14}) y^{5} + (−1 + q^{24} x^{14}) y^{6} となる.(3 回の除法で計算可能)

27. f = x^{3}y^{6} + xy^{10}, g = x^{2}y + x^{10}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q22x10y15 + \frac{(q34 + 1)}{q2} x12y11 + x14y7 + \frac{x2y14}{q82} + \frac{(q34 + 1)}{q74} x4y10 + \frac{x6y6}{q40} ,

\frac{x10y28}{q36} + x12y24 + \frac{x2y27}{q244} + \frac{x4y23}{q176} + \frac{x10y11}{q122} + \frac{x12y7}{q154} + \frac{x2y10}{q194} + \frac{x4y6}{q194} \}

となり, さらにこの 3 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(1 + q^{242} x^{34}) y^{6} + (1 + q^{208} x^{34}) y^{7} + (1 + q^{242} x^{34}) y^{10} + (1 + q^{208} x^{34}) y^{11} となる.(3 回の除法で計算可能)

28. f = x^{4} − y, g = x + y^{3} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{q8x4y6 + (q11 + 1) x5y3 − \frac{y7}{q16} + x6 − \frac{(q11 + 1)}{q12} xy4 − x2y, \frac{x4y14}{q11} + x5y11 − \frac{y15}{q67} − \frac{xy12}{q44} − \frac{x4y3}{q26} − \frac{x5}{q37} + \frac{y4}{q38} + \frac{xy}{q37} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

− (q x^{5}) − q^{24} x^{16} + (q x + q^{13} x^{12}) y + (− (q x^{4}) − q^{24} x^{15}) y^{3} + (1 + q^{12} x^{11}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

\underline{今後の課題 :} 単項生成元の既約因子分解をどうするか？

\underline{アイデア :} とりあえず定数項を因子分解？