セミナー配布資料 (前回の訂正版) 2001,5,11 森島聖

f, g ∈ k (q) ⟨x, y⟩ = R (yx = qxy) に対し, Rf ∩ Rg は, 辞書式順序に関して高々 2 元で生成されると予想される. 2 元で生成されたときの左イデアルを,

(R ⊂) R′ = k (q) (x) [y] (yx = qxy)

の左イデアル ( extension ideal ) とみなして生成元を計算したい. 実際, R′ は y に関する一変数多項式環より, 互除法により生成元が計算できて, 特に単項生成になる. 以下にその単項生成元を列挙する.

1. f = x + 1, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{ x2y + x2 + \frac{(α + 1)}{α} xy + \frac{(α + 1)}{α} x + \frac{y}{α} + \frac{1}{α} , xy2 + \frac{(α + 1)}{α} xy + \frac{y2}{α2} + \frac{x}{α} + \frac{(α + 1)}{α2} y + \frac{1}{α}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y となる.(1 回の除法で計算可能)

2. f = x + y, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x2y − \frac{y3}{α3} + x2 − \frac{(α + 1)}{α2} xy − \frac{(α2 + α + 1)}{α3} y2 − \frac{(α + 1)}{α2} x − \frac{(α + 1)}{α2} y, xy2 + \frac{y3}{α2} + \frac{(α + 1)}{α} xy + \frac{(α + 1)}{α2} y2 + \frac{x}{α} + \frac{y}{α}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると

1 + y となる.(1 回の除法で計算可能)

3. f = x^{2} + 1, g = y^{2} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4y2 + x4 + \frac{(α4 + 1)}{α4} x2y2 + \frac{(α4 + 1)}{α4} x2 + \frac{y2}{α4} + \frac{1}{α4} , x2y4 + \frac{y4}{α8} + \frac{(α4 + 1)}{α4} x2y2 + \frac{x2}{α4} + \frac{(α4 + 1)}{α8} y2 + \frac{1}{α4} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

4. f = x^{3} + y, g = y^{3} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x6y3 + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3y4 + x6 + \frac{y5}{α12} + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3y + \frac{y2}{α12} , x3y6 + \frac{y7}{α18} + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3y3 + \frac{(α9 + 1)}{α18} y4 + \frac{x3}{α9} + \frac{y}{α9} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

x^{3} − q^{18} x^{12} + (1 − q^{9} x^{9}) y + (x^{3} − q^{18} x^{12}) y^{3} + (1 − q^{9} x^{9}) y^{4} となる.(2 回の除法で計算可能)

5. f = x^{3} + 1, g = y^{3} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x6y3 + x6 + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3y3 + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3 + \frac{y3}{α9} + \frac{1}{α9} , x3y6 + \frac{(α9 + 1)}{α9} x3y3 + \frac{y6}{α18} + \frac{x3}{α9} + \frac{(α9 + 1)}{α18} y3 + \frac{1}{α9} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + y^{3} となる.(1 回の除法で計算可能)

6. f = x^{10}y^{8} − x^{5}y^{6}, g = x^{7}y^{3} − x^{2}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は

\{x15y10 − α15x15y9 − \frac{x10y9}{α35} + α10x10y7 + \frac{x5y7}{α40} − \frac{x5y6}{α10} , x20y6 − \frac{x15y9}{α45} − \frac{x15y8}{α25} − \frac{x15y7}{α5} + \frac{x10y8}{α75} + \frac{x10y7}{α50} + \frac{x10y6}{α25} − \frac{x5y6}{α75} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + q^{50} x^{5}) y^{6} + (q^{25} x^{5} − q^{70} x^{10}) y^{7} + (x^{5} − q^{50} x^{10}) y^{8} + (− (q^{30} x^{10}) + q^{75} x^{15}) y^{9} となる.(1 回の除法で計算可能)

7. f = xy + x + 1, g = x + y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は

\{x3y + \frac{(α4 + 3α3 + 3α2 + 2α + 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} x2y2 + \frac{(α2 + 3α + 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} xy3 + x3 + \frac{(α3 + 3α2 + 4α + 2)}{2α2 + 2α + 1} x2y + \frac{(α3 + α2 + 2α + 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} xy2

+ \frac{(2α3 + 3α2 + α − 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} x2 + \frac{(2α4 + 3α3 + 2α2 + 2α + 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} xy + \frac{(α2 + 3α + 1)}{α3 (2α2 + 2α + 1)} y2 + \frac{(α2 − 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} x + \frac{(α2 − 1)}{α(2α2 + 2α + 1)} y,

x2y3 + \frac{xy4}{α3} + \frac{(α + 1)}{α} x2y2 + \frac{(α + 1)}{α3} xy3 + \frac{(α2 − 1)}{α3} x2y + \frac{xy2}{α2} + \frac{y3}{α6} − \frac{x2}{α3} + \frac{y2}{α4} − \frac{x}{α3} − \frac{y}{α3} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−x−x^{2}−q x^{2}−q x^{3}+q^{2} x^{3}+q^{2} x^{4}+(−1 − x − q x − q x^{2} + q^{2} x^{4}) y+(− (q x) − q x^{2} + q x^{3}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

8. f = xy + x + 1, g = x + y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y − \frac{xy3}{α3} + x3 − \frac{(α + 1)}{α3} x2y − \frac{(α3 + α2 + 2α + 1)}{α4} xy2 + \frac{(α3 − α − 1)}{α3} x2 − \frac{(α3 + 2α2 + 2α + 2)}{α4} xy − \frac{y2}{α5} − \frac{(2α2 + 2α + 1)}{α4} x

− \frac{(α3 + α2 + α + 1)}{α5} y − \frac{(α2 + α + 1)}{α4} ,

x2y2 + \frac{xy3}{α2} + \frac{(α2 + α + 1)}{α2} x2y + \frac{(α + 1)2}{α3} xy2 + \frac{(α + 1)}{α2} x2 + \frac{2(α2 + α + 1)}{α3} xy + \frac{y2}{α4} + \frac{(α + 1)2}{α3} x + \frac{(α2 + α + 1)}{α4} y + \frac{(α + 1)}{α3}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−1 − x + q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3} + (−1 − q x + q x^{2} + q^{2} x^{3}) y + (− (q x) + q x^{2}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

9. f = x + y + 1, g = xy + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y + \frac{(α4 + 3α3 + 2α2 + 2α + 1)}{α(α2 + 2α + 2)} x2y2 + \frac{(α2 + 3α + 1)}{α(α2 + 2α + 2)} xy3 + \frac{(α3 + 2α2 + 4α + 3)}{α(α2 + 2α + 2)} x2y + \frac{(2α3 + 4α2 + 3α + 1)}{α2 (α2 + 2α + 2)} xy2 + x2

+ \frac{(α4 + 3α3 + 4α2 + 5α + 2)}{α2 (α2 + 2α + 2)} xy + \frac{(α2 + 3α + 1)}{α3 (α2 + 2α + 2)} y2 + \frac{(2α3 + 4α2 + 3α + 1)}{α3 (α2 + 2α + 2)} y + \frac{(2α + 3)}{α(α2 + 2α + 2)} ,

x2y3 + \frac{xy4}{α3} + \frac{x2y2}{α2} + \frac{(α + 1)}{α4} xy3 − \frac{x2y}{α3} + \frac{xy2}{α4} + \frac{y3}{α6} + \frac{(α + 1)}{α6} y2 − \frac{x}{α3} − \frac{(α2 − 1)}{α5} y − \frac{1}{α3} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−1−x+q x+q x^{2}+q^{2} x^{2}+q^{2} x^{3}+(−1 + q x^{2} + q x^{3} + q^{2} x^{3} + q^{2} x^{4}) y+(− (q x) + q x^{2} + q x^{3}) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

10. f = x^{2} + x + y + 1, g = y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y + x3 + \frac{(α + 1)}{α} x2y + \frac{xy2}{α2} + \frac{(α + 1)}{α} x2 + \frac{(α2 + α + 1)}{α2} xy + \frac{y2}{α2} + \frac{(α + 1)}{α2} x + \frac{(α + 1)}{α2} y + \frac{1}{α} ,

x2y2 + \frac{(α + 1)}{α} x2y + \frac{xy2}{α2} + \frac{y3}{α4} + \frac{x2}{α} + \frac{(α + 1)}{α2} xy + \frac{(α2 + α + 1)}{α4} y2 + \frac{x}{α} + \frac{(α2 + α + 1)}{α3} y + \frac{1}{α}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q+q x+q^{2} x+q x^{2}+q^{2} x^{2}+q^{2} x^{3}+(1 + q + x + q x + q^{2} x + q x^{2} + q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3}) y+(1 + x) y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

11. f = x + y^{2} + 1, g = x^{2} + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{α2x2y4 + (α4 + 1) x3y2 + x4 + \frac{(α4 + 1)}{α2} x2y2 + \frac{y4}{α6} + \frac{(α2 + 1)}{α2} x3 + \frac{(α4 + 1)}{α4} xy2 + \frac{(α2 + 1)}{α2} x2 + \frac{(α4 + 1)}{α6} y2 + \frac{(α2 + 1)}{α2} x + \frac{1}{α2} ,

\frac{x2y6}{α4} + x3y4 + \frac{(α4 + α2 + 1)}{α8} x2y4 + \frac{y6}{α16} + \frac{(α2 + 1)}{α6} x3y2 + \frac{xy4}{α8} + \frac{(2α4 + α2 + 1)}{α10} x2y2 + \frac{(α4 + α2 + 1)}{α16} y4 + \frac{2x3}{α10} + \frac{(α2 + 1)}{α10} xy2

+ \frac{2x2}{α10} + \frac{(2α4 + α2 + 1)}{α14} y2 + \frac{2x}{α10} + \frac{2}{α10} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

1 + x + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

12. f = x^{2} + y^{2}, g = x + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 + x2y2 + \frac{(α2 + 1)}{α2} x3 + \frac{(α2 + 1)}{α2} xy2 + \frac{x2}{α2} + \frac{y2}{α2} , x3y2 + \frac{xy4}{α4} + \frac{x2y2}{α4} + \frac{y4}{α8} + \frac{x3}{α6} + \frac{xy2}{α6} + \frac{x2}{α6} + \frac{y2}{α6} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

x^{2} + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

13. f = x^{2} − y^{2} − 1, g = x − y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 − (α2 + 1) x3y + (α − 1) x2y2 + \frac{(α2 + 1)}{α2} xy3 − \frac{y4}{α3} − x2 + \frac{(α2 + 1)}{α2} xy − \frac{y2}{α3} ,

x3y2 − \frac{x2y3}{α2} − \frac{xy4}{α4} + \frac{y5}{α8} + \frac{x3}{α5 (α − 1)} − \frac{x2y}{α3 (α − 1)} − \frac{(α2 − α + 1)}{α5 (α − 1)} xy2 + \frac{(α3 + α − 1)}{α8 (α − 1)} y3 + \frac{x}{α5 (α − 1)} + \frac{y}{α5 (α − 1)}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−x + x^{3} + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3} − q^{2} x^{5} + q^{3} x^{5} + (1 − x^{2} + q x^{2} − q^{2} x^{2} + q^{2} x^{4} − q^{3} x^{4}) y +

(−x + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3}) y^{2} + (1 − x^{2} + q x^{2}) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

14. f = x^{2} − y^{2} − 1, g = x − y + 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4 − \frac{(α + 1)}{α} x2y2 + \frac{y4}{α5} + \frac{(α3 + α2 + α + 1)}{α3 (α − 1)} x3 − \frac{(2α3 + α2 + 1)}{α3 (α − 1)} x2y − \frac{(α3 + α2 + α + 1)}{α3 (α − 1)} xy2 + \frac{(2α3 + α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y3

− \frac{(α5 − α4 − 2α2 − α − 1)}{α4 (α − 1)} x2 − \frac{(2α3 + α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y2 − \frac{(α3 + α2 + α + 1)}{α3 (α − 1)} x + \frac{(2α3 + α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y − \frac{(2α2 + α + 1)}{α4 (α − 1)} ,

x3y − \frac{x2y2}{α} + \frac{y4}{α5} − \frac{xy3}{α2} + \frac{(α + 1)}{α3 (α − 1)} x3 − \frac{(α2 + 1)}{α3 (α − 1)} x2y − \frac{(α + 1)}{α3 (α − 1)} xy2 + \frac{(α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y3 + \frac{(α + 1)}{α4 (α − 1)} x2 − \frac{xy}{α2}

− \frac{(α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y2 − \frac{(α + 1)}{α3 (α − 1)} x + \frac{(α2 + 1)}{α5 (α − 1)} y − \frac{(α + 1)}{α4 (α − 1)}\}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−2 − q x − q^{2} x + 2 x^{2} + q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2} + q x^{3} + q^{2} x^{3} − q^{2} x^{4} + q^{3} x^{4} +

(2 − x + q x − 2 q^{2} x^{2} + q^{2} x^{3} − q^{3} x^{3}) y +
(−2 − q x − q^{2} x + q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2}) y^{2} + (2 − x + q x) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

15. f = x^{4} − xy, g = y − 1 Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x7y − x7 − \frac{(α3 + 1)}{α6} x4y + \frac{(α3 + 1)}{α6} x4 − \frac{xy3}{α9} + \frac{(α6 + α3 + 1)}{α9} xy2 − \frac{(α3 + 1)}{α6} xy, x4y2 − \frac{(α3 + 1)}{α3} x4y + \frac{x4}{α3} − \frac{xy3}{α6} + \frac{(α3 + 1)}{α6} xy2 − \frac{xy}{α3} \}

−x^{3} + q^{3} x^{6} + (1 − q^{3} x^{6}) y + (−1 + x^{3}) y^{2}

となる.(2 回の除法で計算可能)

16. f = x^{2}y − xy, g = xy^{2} − xy Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x3y2 − x3y − \frac{(α + 1)}{α} x2y2 + \frac{(α + 1)}{α} x2y + \frac{xy2}{α} − \frac{xy}{α} , x2y3 − \frac{(α + 1)}{α} x2y2 − \frac{xy3}{α2} + \frac{x2y}{α} + \frac{(α + 1)}{α2} xy2 − \frac{xy}{α} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

−y + y^{2} となる.(1 回の除法で計算可能)

17. f = x^{2}y − xy − x, g = xy^{2} − xy + y Rf ∩ Rg の生成元 (lex, grevlex) は,

\{x4y3 − \frac{α (2α + 3)}{α2 + 2α + 2} x3y4 − x4y2 + \frac{(α4 − 4α2 − 5α − 2)}{α2 (α2 + 2α + 2)} x3y3 + \frac{(2α + 3)}{α2 (α2 + 2α + 2)} x2y4 + \frac{(α4 + 3α3 + 4α2 + 5α + 2)}{α2 (α2 + 2α + 2)} x3y2

− \frac{(α3 − 3α − 3)}{α3 (α2 + 2α + 2)} x2y3 + \frac{x3y}{α} − \frac{(α4 + 4α3 + 8α2 + 6α + 1)}{α3 (α2 + 2α + 2)} x2y2 + \frac{(2α + 3)}{α4 (α2 + 2α + 2)} xy3 − \frac{(α4 + 2α3 + 3α2 + 5α + 4)}{α3 (α2 + 2α + 2)} x2y

+ \frac{(α3 + 5α2 + 6α + 3)}{α4 (α2 + 2α + 2)} xy2 + \frac{(α2 + 5α + 4)}{α3 (α2 + 2α + 2)} xy,

x3y5 − \frac{(α2 − 1)}{α2} x3y4 − \frac{x2y5}{α4} − \frac{(α + 1)}{α3} x3y3 + \frac{(α2 − 1)}{α5} x2y4 + \frac{x3y2}{α3} + \frac{(α + 2)}{α4} x2y3 − \frac{xy4}{α7} − \frac{(α2 − 1)}{α5} x2y2 − \frac{(α + 1)}{α7} xy3 − \frac{x2y}{α4}

+ \frac{(α2 − 1)}{α6} xy2 + \frac{xy}{α4} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−1 + x + 2 q x + q^{2} x − 2 q x^{2} − q^{2} x^{2} − q^{3} x^{2} + q^{3} x^{3}) y +

(−1 + x + 2 q x + q^{2} x − q x^{2} − 2 q^{2} x^{2} − 2 q^{3} x^{2} + q^{2} x^{3} + 2 q^{3} x^{3} + q^{4} x^{3} − q^{4} x^{4}) y^{2} +
(− (q x) + 2 q x^{2} + q^{2} x^{2} + q^{3} x^{2} − q^{2} x^{3} − 2 q^{3} x^{3} − q^{4} x^{3} + q^{4} x^{4}) y^{3}

となる.(1 回の除法で計算可能)

18. f = x^{4} − xy, g = x + y^{3} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α5x4y6 + (α8 + 1) x5y3 − \frac{xy7}{α13} + x6 − \frac{(α8 + 1)}{α9} x2y4 − x3y, \frac{x4y11}{α8} + x5y8 − \frac{xy12}{α41} − \frac{x2y9}{α24} + \frac{x4y3}{α15} + \frac{x5}{α23} − \frac{xy4}{α24} − \frac{x2y}{α23} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q x^{4} + q^{18} x^{12} + (− (q x) − q^{10} x^{9}) y + (q x^{3} + q^{18} x^{11}) y^{3} + (−1 − q^{9} x^{8}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

19. f = x^{2} + y, g = y^{2} + x Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{αx2y4 + (α + 1) x3y2 + \frac{y5}{α7} + x4 + \frac{(α3 + 1)}{α4} xy3 + x2y, \frac{x2y5}{α3} + x3y3 + \frac{y6}{α13} + \frac{xy4}{α6} + \frac{x2y2}{α4} + \frac{x3}{α7} + \frac{y3}{α8} + \frac{xy}{α7} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

q x^{3} + q^{6} x^{6} + (q x + q^{3} x^{4}) y + (q x^{2} + q^{6} x^{5}) y^{2} + (1 + q^{2} x^{3}) y^{3} となる.(3 回の除法で計算可能)

20. f = x^{3} + y, g = y^{3} + x Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α5x3y6 + (α8 + 1) x4y3 + \frac{y7}{α13} + x5 + \frac{(α8 + 1)}{α9} xy4 + x2y, \frac{x3y11}{α8} + x4y8 + \frac{y12}{α41} + \frac{xy9}{α24} − \frac{x3y3}{α15} − \frac{x4}{α23} − \frac{y4}{α24} − \frac{xy}{α23} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

− (q x^{4}) + q^{18} x^{12} + (− (q x) + q^{10} x^{9}) y + (− (q x^{3}) + q^{18} x^{11}) y^{3} + (−1 + q^{9} x^{8}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

21. f = x^{3} + y^{2}, g = y^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α3x3y7 + α11x5y4 + \frac{y9}{α18} + \frac{x2y6}{α} + α5x4y3 + x6 + \frac{xy5}{α4} + x3y2,

\frac{x3y8}{α10} + x5y5 + \frac{y10}{α34} + \frac{x2y7}{α15} + \frac{(α5 − 1)}{α12} x4y4 + \frac{(α5 − 1)}{α24} xy6 + \frac{x3y3}{α13} + \frac{x5}{α18} + \frac{y5}{α22} + \frac{x2y2}{α18} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

− (q^{4} x^{5})−q^{16} x^{10}+(− (q^{7} x^{6}) + q^{12} x^{6}) y+(− (q^{4} x^{2}) − q^{11} x^{7}) y^{2}+(− (q^{4} x^{3}) − q^{16} x^{8}) y^{3}+

(− (q^{5} x^{4}) + q^{10} x^{4}) y^{4} + (−1 − q^{7} x^{5}) y^{5}

となる.(3 回の除法で計算可能)

22. f = x^{3}y + y^{2}, g = xy^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α3x4y7 + \frac{(α8 + 1)}{α} x5y4 + \frac{xy8}{α15} + x6y + \frac{(α8 + 1)}{α10} x2y5 + x3y2, \frac{x4y12}{α9} + x5y9 + \frac{xy13}{α42} + \frac{x2y10}{α24} − \frac{x4y4}{α13} − \frac{x5y}{α20} − \frac{xy5}{α22} − \frac{x2y2}{α20} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(− (q^{2} x^{4}) + q^{18} x^{12}) y + (− (q^{2} x) + q^{10} x^{9}) y^{2} + (− (q x^{3}) + q^{17} x^{11}) y^{4} + (−1 + q^{8} x^{8}) y^{5} となる.(4 回の除法で計算可能)

23. f = x^{3}y + xy^{2}, g = xy^{3} + x^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{x3y7 + \frac{xy8}{α12} + \frac{(α5 + 1)}{α} x4y4 + \frac{(α5 + 1)}{α7} x2y5 + x5y + x3y2, \frac{x3y9}{α6} + \frac{xy10}{α22} + x4y6 + \frac{x2y7}{α10} + \frac{x3y4}{α6} + \frac{xy5}{α12} + \frac{x4y}{α10} + \frac{x2y2}{α10} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(q^{2} x^{3} − q^{12} x^{8}) y + (q^{2} x − q^{7} x^{6}) y^{2} + (q x^{2} − q^{11} x^{7}) y^{4} + (1 − q^{5} x^{5}) y^{5} となる.(4 回の除法で計算可能)

24. f = x^{5}y + x^{3}y^{2}, g = xy^{3} + x^{2}y Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{αx5y5 + (α3 + 1) x6y3 + \frac{x3y6}{α7} + x7y + \frac{(α3 + 1)}{α4} x4y4 + x5y2, \frac{x5y6}{α3} + x6y4 + \frac{x3y7}{α13} + \frac{x4y5}{α6} + \frac{x5y3}{α4} + \frac{x6y}{α7} + \frac{x3y4}{α8} + \frac{x4y2}{α7} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(q x^{3} + q^{6} x^{6}) y + (q x + q^{3} x^{4}) y^{2} + (q x^{2} + q^{6} x^{5}) y^{3} + (1 + q^{2} x^{3}) y^{4} となる.(3 回の除法で計算可能)

25. f = x^{5}y^{10} + x^{3}y^{7}, g = x^{10}y^{3} + x^{2}y^{8} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{−α44x13y24 − \frac{x5y29}{α124} − \frac{x11y21}{α18} − \frac{x3y26}{α162} + x15y10 + \frac{x7y15}{α56} + x13y7 + \frac{x5y12}{α32} ,

x13y27 + \frac{x5y32}{α192} + \frac{x11y24}{α68} + \frac{x3y29}{α236} + \frac{x13y10}{α78} + \frac{x5y15}{α134} + \frac{x11y7}{α78} + \frac{x3y12}{α110} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(q^{32} x^{8} − q^{206} x^{42}) y^{7}+(− (q^{78} x^{20}) + q^{112} x^{20}) y^{8}+(q^{136} x^{32} − q^{170} x^{32}) y^{9}+(q^{66} x^{10} − q^{206} x^{44}) y^{10}+

(1 − q^{174} x^{34}) y^{12}+(− (q^{38} x^{12}) + q^{72} x^{12}) y^{13}+(q^{88} x^{24} − q^{122} x^{24}) y^{14}+(q^{10} x^{2} − q^{150} x^{36}) y^{15}

となる.(5 回の除法で計算可能)

26. f = x^{3}y^{2} + xy^{5}, g = x^{2}y + x^{6}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α4x6y9 + \frac{(α14 + 1)}{α2} x8y6 + x10y3 + \frac{x2y8}{α24} + \frac{(α14 + 1)}{α18} x4y5 + \frac{x6y2}{α4} , \frac{x6y13}{α16} + x8y10 + \frac{x2y12}{α60} + \frac{x4y9}{α32} + \frac{x6y6}{α24} + \frac{x8y3}{α36} + \frac{x2y5}{α40} + \frac{x4y2}{α40} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(x^{2} − q^{38} x^{16}) y^{2} + (q^{18} x^{6} − q^{42} x^{20}) y^{3} + (1 − q^{38} x^{14}) y^{5} + (q^{16} x^{4} − q^{40} x^{18}) y^{6} となる.(3 回の除法で計算可能)

27. f = x^{3}y^{6} + xy^{10}, g = x^{2}y + x^{10}y^{2} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α22x10y15 + \frac{(α34 + 1)}{α2} x12y11 + x14y7 + \frac{x2y14}{α82} + \frac{(α34 + 1)}{α74} x4y10 + \frac{x6y6}{α40} ,

\frac{x10y28}{α36} + x12y24 + \frac{x2y27}{α244} + \frac{x4y23}{α176} + \frac{x10y11}{α122} + \frac{x12y7}{α154} + \frac{x2y10}{α194} + \frac{x4y6}{α194} \}

となり, さらにこの 3 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

(−x^{2} − q^{242} x^{36}) y^{6}+(− (q^{74} x^{10}) − q^{282} x^{44}) y^{7}+(−1 − q^{242} x^{34}) y^{10}+(− (q^{72} x^{8}) − q^{280} x^{42}) y^{11} となる.(3 回の除法で計算可能)

28. f = x^{4} − y, g = x + y^{3} Rf ∩ Rg の生成元 (lex) は,

\{α8x4y6 + (α11 + 1) x5y3 − \frac{y7}{α16} + x6 − \frac{(α11 + 1)}{α12} xy4 − x2y, \frac{x4y14}{α11} + x5y11 − \frac{y15}{α67} − \frac{xy12}{α44} − \frac{x4y3}{α26} − \frac{x5}{α37} + \frac{y4}{α38} + \frac{xy}{α37} \}

となり, さらにこの 2 元で生成される R′ での左イデアル ( extension ideal ) の単項生成元を, 互除法を用いて計算すると,

− (q x^{5}) − q^{24} x^{16} + (q x + q^{13} x^{12}) y + (− (q x^{4}) − q^{24} x^{15}) y^{3} + (1 + q^{12} x^{11}) y^{4} となる.(4 回の除法で計算可能)

\underline{今後の課題 :} 単項生成元の既約因子分解をどうするか？

\underline{アイデア :} とりあえず定数項を因子分解？