variety と radical イデアルの minimal decomposition の例

M1 セミナー 2000 年 3 月日配布

M1171023 森島聖

1. [Expample.1](Chapter4,§6,EXERCISE.7 (P.206) I = ⟨xz − y^{2}, z^{3} − x^{5}⟩ ⊂ k [x, y, z] とする。 V(I) は下図になる。

(FACT1.1) V(I) の minimal decomposition は, I_{1} = ⟨y^{5} − z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} − z^{3}, x^{2}y − z^{2}, x^{3} − yz⟩ , I_{2} = ⟨y^{5} + z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} + z^{3}, x^{2}y + z^{2}, x^{3} + yz⟩ ⊂ k [x, y, z] に対し,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

となる。

(PROOF)

In[1]:= g1=GroebnerBasis[{x-t^3,y-t^4,z-t^5},{x,y,z},{t}]

Out[1]= { y^{5} − z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} − z^{3}, x^{2}y − z^{2}, x^{3} − yz }

In[2]:= g2=GroebnerBasis[{x-t^3,y+t^4,z-t^5},{x,y,z},{t}]

Out[2]= { y^{5} + z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} + z^{3}, x^{2}y + z^{2}, x^{3} + yz }

In[3]:= ideal=IdealIntersection[g1,g2]

Out[3]= { −x^{5} + z^{3}, y^{2} − xz } よって, I = I_{1} ∩ I_{2} となる。両辺を写像 V でうつすと,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

となる。 V(I_{1}), V(I_{2}) はそれぞれパラメーター表示 (t^{3}, t^{4}, t^{5}), (t^{3}, −t^{4}, t^{5}) ですべて表せる (cf. Chapter4,§6,EXERCISE.5-a (P.206)) ので,V(I_{1}), V(I_{2}) はそれぞれ既約で,⊄, ⊅ は明らかより,V(I) の minimal decomposition は,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

(FACT1.2) I は radical で, minimal decomposition は,

I = I_{1} ∩ I_{2}

となる。

(PROOF) I_{1} = I(V(I_{1})), I_{2} = I(V(I_{2}))(Chapter4,§6,EXERCISE.5-b (P.206) 等で示される) で,V(I_{1}), V(I_{2}) はそれぞれ既約より、 I_{1}, I_{2} は素イデアルで, ⊄, ⊅ は明らかより, I の minimal decomposition は,

I = I_{1} ∩ I_{2}

実際, I は素イデアルの intersection で表せるので, I は radical である。また,

   In[4]:= GroebnerBasis[IdealQuotient[ideal,{y^5+z^4}],{x,y,z}]

Out[4]= { y^{5} − z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} − z^{3}, x^{2}y − z^{2}, x^{3} − yz }

   In[5]:= GroebnerBasis[IdealQuotient[ideal,{y^5-z^4}],{x,y,z}]

Out[5]= { y^{5} + z^{4}, −y^{2} + xz, xy^{3} + z^{3}, x^{2}y + z^{2}, x^{3} + yz }

より,

I_{1} = I : (y^{5} + z^{4})
I_{2} = I : (y^{5} − z^{4})

であるので, ideal quotient を用いて,

I = (I : (y^{5} + z^{4})) ∩ (I : (y^{5} − z^{4}))

と表せる。

2. [Expample.2] I = ⟨−x^{2}z + yz, −x^{3}z + z^{2}⟩ ⊂ k [x, y, z] とする。 V(I) は次図になる。 (FACT2.1) V(I) の minimal decomposition は,

I_{1} = ⟨z⟩ , I_{2} = ⟨y^{3} − z^{2}, −y^{2} + xz, xy − z, x^{2} − y⟩ ⊂ k [x, y, z] に対し,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

となる。

(PROOF)

   In[6]:= g3={z}
   Out[6]= { z }
   In[7]:= g4=GroebnerBasis[{x-t,y-t^2,z-t^3},{x,y,z},{t}]

Out[7]= { y^{3} − z^{2}, −y^{2} + xz, xy − z, x^{2} − y }

   In[8]:= ideal=IdealIntersection[g3,g4]

Out[8]= { −x^{2}z + yz, −x^{3}z + z^{2} }

よって, I = I_{1} ∩ I_{2} となる。両辺を写像 V でうつすと,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

となる。 V(I_{1}) は明らかに既約で, V(I_{2}) もパラメーター表示 (t, t^{2}, t^{3}) ですべて表せるので既約で,⊄, ⊅ は明らかより,V(I) の minimal decomposition は,

V(I) = V(I_{1}) ∪ V(I_{2})

(FACT2.2) I は radical で, minimal decomposition は,

I = I_{1} ∩ I_{2}

となる。

(PROOF) I_{1} が素イデアルであることは明らか。また, I_{2} = I(V(I_{2}))(Chapter4,§6,EXERCISE.5b (P.206) と同様の手法等で示される) で,V(I_{2}) は既約より、 I_{2} は素イデアルで, ⊄, ⊅ は明らかより, I の minimal decomposition は,

I = I_{1} ∩ I_{2}

実際, I は素イデアルの intersection で表せるので, I は radical である。また,

   In[9]:= GroebnerBasis[IdealQuotient[ideal,{y^3-z^2}],{x,y,z}]
   Out[9]= { z }
   In[10]:= GroebnerBasis[IdealQuotient[ideal,{z}],{x,y,z}]

Out[10]= { y^{3} − z^{2}, −y^{2} + xz, xy − z, x^{2} − y }

より,

I_{1} = I : (y^{3} − z^{2})
I_{2} = I : (z)

であるので, ideal quotient を用いて,

I = (I : (y^{3} − z^{2})) ∩ (I : (z))

と表せる。

3. [考察] 今回は, component から出発して minimal decomposition の具体例を構成した。今後, 一般に minimal decomposition(primary decomposition) を計算する algorithm を研究対象にするつもりである。

4. [プログラム説明]

IdealIntersection[ff_,gg_]:=IdealIntersection[ff,gg]=
             Module[{kk},kk=GroebnerBasis[Join[ttt*ff,(1-ttt)*gg],
             {},{ttt}];If[kk=={},kk={0}];kk]

ideal I と J の生成元をそれぞれ, I = ⟨f_{1}, ⋯, f_{r}⟩ , J = ⟨g_{1}, ⋯, g_{s}⟩ とするとき, IdealIntersection[{f_{1}, ⋯, f_{r}},{g_{1}, ⋯, g_{s}}] と入力すると,I と J の intersection, I ∩ J の生成元 h_{1}, ⋯, h_{t} を出力する。

IdealQuotient[f_,g_]:=IdealQuotient[f,g]=
Module[{IdealIntersection,s,a},
IdealIntersection[ff_,gg_]:=IdealIntersection[ff,gg]=
Module[{kk},kk=GroebnerBasis[Join[t*ff,(1-t)*gg],{},{t}];
If[kk=={},kk={0}];kk];s=Length[g];a=If[g[[1]]===0,{1},
Expand[Simplify[IdealIntersection[f,{g[[1]]}]/g[[1]]]]];
Do[a=IdealIntersection[a,If[g[[i]]===0,{1},
Expand[Simplify[IdealIntersection[f,{g[[i]]}]/g[[i]]]]]],
{i,2,s}];Expand[Simplify[a]]]

ideal I と J の生成元をそれぞれ, I = ⟨f_{1}, ⋯, f_{r}⟩ , J = ⟨g_{1}, ⋯, g_{s}⟩ とするとき, IdealQuotient[{f_{1}, ⋯, f_{r}},{g_{1}, ⋯, g_{s}}] と入力すると,I の J による ideal quotient, I : J の生成元 h_{1}, ⋯, h_{t} を出力する。