数学研究のPage

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研究テーマについて

大学時代にGroebner基底の非可換多項式環 R=k(a)＜x,y＞/(yx-axy)への応用とアルゴリズムについて研究しました。 左Groebner基底アルゴリズムを用いた計算実験のデータから、Rの元、f,g に対し、 RfとRgの共通部分が(lexicographic orderに関して??)高々２元で生成されるのではないかという予想をたて、 生成元について研究中しました。 Ｒをより一般的なsolvable typeの非可換多項式環(Groebner基底アルゴリズムが応用出来る環)に拡張し、 どういう現象が起こるか、Ｒでの左素イデアルや左準素イデアルをどのように定義すれば可換の場合と同様の議論が出来るか、 そしてＲの左イデアル準素分解アルゴリズムが構成出来ればと考えていましたが、これらの予想や構成法は未だ未解決です。

大学時代の研究の延長上ついて

新たな計算機実験結果がでました。

森島予想についての一部追記事項(pdf file)

D1セミナー(神戸大学)について

指導教官の高山信毅先生のご指導のもとでGroebner基底の非可換多項式環への応用とそのアルゴリズムついて研究しました。

4月27日セミナー配布資料(dvi file)

5月11日セミナー配布資料(前回の計算結果の訂正版)(dvi file)

4年生セミナー(広島大学)について

指導教官の木村俊一先生のご指導のもとで、

David Cox, John Little, Donal O'Shea 著

Ideals, Varieties, and Algorithms

という本を読み進めました。内容は代数幾何学で、コンピューターを活用するというところが特徴です。

7月6日セミナー配布資料(dvi file)

卒業論文の概要

卒業論文(ダウンロード)
(DVI形式)
(PDF形式)


dviファイルとpdfファイルは、共に目次がコンパイルされていません。
現在TeXのソースファイルを探しています。
見つかり次第、コンパイルし直します。
参考までに、目次のページは、 卒業論文の概要､の目次でGIFイメージとして見ることが出来ます。

M1セミナー(広島大学)について

指導教官の木村俊一先生のご指導のもとで、上で挙げたテキストの続き(2章 Groebner Bases の 7節 Buchberger's Algorithm )から、読み進め、Groebner基底の応用について研究(勉強??)しました。

1月14日セミナー配布資料(dvi file)

1月21日セミナー配布資料(dvi file)

3月セミナー配布資料(dvi file)

M2セミナー(広島大学)について

指導教官の木村俊一先生のご指導のもとで、

Thomas Becker, Volker Weispfenning 著

Groebner Basis

という本を読み進め、イデアルの準素分解アルゴリズムについて研究(勉強??)しました。

8月25日セミナー配布資料(dvi file)

神戸大編入試験研究経過報告書資料(dvi file)

神戸大編入試験研究計画書資料(dvi file)

神戸大編入試験口頭試問発表用OHP資料(dvi file)

修士論文について

題目：非可換多項式環 $k\left(\alpha\right)\left＜x,y\right＞/\left(yx-\alpha xy\right)$ の左単項生成イデアルの共通部分の生成元について

修士論文(ダウンロード)
(DVI形式)
(PDF形式)

概要

序文

修士論文発表会用OHP資料(dvi file)

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コンピューターセミナー(広島大学)について

広島大学在学時に、指導教官の木村俊一先生のご指導のもとで、 Mathematicaを使ってプログラミングを行いました。 以下に、プログラムの成果を載せています。

注：　 一部、Ver.4.0ではエラーが出力されるものがあります。 その場合は、以下の新しい関数「MonomialList」を定義して下さい。


MonomialList[aiueo_] := Module[{sasisuseso, full},
kakikukeko = Expand[aiueo] + sasisuseso;
full = FullForm[kakikukeko];
DeleteCases[Table[full[[1]][[iii]],
{iii, 1, Length[full[[1]]]}],sasisuseso]]




まず、 1変数xの多項式の割り算を行うプログラム(Division Algorithm) を、つくりました。次に、この Division Algorithm を用いて、 1変数xの多項式の最大公約数を求めるプログラム(Euclidean Algorithm) をつくりました。(この2つのプログラムについては、dvi ファイル にまとめました。)次に多項式を係数のリストとして表した場合( 例えば、x^3-2x+3 は、{3, -2, 0, 1}のように、xの次数の低いほうから係数を並べます。 )の Division Algorithm(1変数リストversion)と、 Euclidean Algorithm(1変数リストversion) をつくりました。ここで、monic多項式を出力するように、 Euclidean Algorithm(1変数リストversion改訂版) をつくりました。

次に、多変数多項式について考えました。まず、木村先生から提案して頂いた方法で、多項式をリストで表すことにしました。例えば、変数 x、y、z に、x>y>z というorderをいれたときに、4x*y^2*z+4z^2-5x^3+7x^2*z^2 という多項式を、{{{0,0,4}},{{0},{0},{0,4}},{{0,0,7}},{{-5}}} のように、リストの中の1番目のかっこは、xの次数について、2番目のかっこは、yの次数について・・・、というようにして、上で挙げた1変数の場合のように、係数のリストで表します。ここで、リストの理解を深めるために、order x>y>z に対して、 3変数多項式からリストへ変換するプログラムと、 リストから3変数多項式へ変換するプログラム をつくりました。(但し、後者の方は、プログラムの組み方がわからなかったので、木村先生につくって頂いたのを、そのままの載せました。) 次に、多変数多項式をリストで表すこの方法を用いて、 Division Algorithm(多変数リスト Lex Order採用 version) をつくりました。そして、与えられたいくつかの多項式に対し、 Groebner基底に変換するプログラム をつくりました。同様のことを、リストの表記方法を上で挙げた多項式に対し{{4,{1,2,1}},{4,{0,0,2}},{-5,{3,0,0}},{7,{2,0,2}}} のように係数と次数の組にして、 Division Algorithm version.2(多変数リスト Lex Order採用 version) と、 Groebner基底に変換するプログラム version.2 をつくりました。この2つのリスト表記法でそれぞれ同じ計算をさせたところ、前者のほうが、計算にかかる時間が短いことがわかりました。そして、プログラムの組み方が比較的簡単という理由から、後者のリスト表記法を用いて、 極小Groebner基底に変換するプログラム と、 被約Groebner基底に変換するプログラム をつくりました。さらに、計算スピードを速くして、任意の monomial order で計算出来る様にオプションをつけ加え、多項式で入力して多項式を出力するように改良した 被約Groebner基底に変換するプログラム(version.2) をつくりました。さらに、 有理数体もしくは、有理数体係数の有理関数体を係数とする多項式環のイデアルの準素分解のプログラム をつくりました。

次に、任意の異なる変数 Xi と Xj に対し、XiXj=ーXjXi とする非可換多項式環について考えました。まず、 Division Algorithm(左からの非可換の除法定理)、 左イデアルの被約Groebner基底を計算するプログラム、 Division Algorithm(右からの非可換の除法定理)、 右イデアルの被約Groebner基底を計算するプログラム をつくりました。

以降に神戸大等で作成したプログラムをとりあえずこちらに列挙しておきます。